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tokoharuの落書き帳

らくがきですよ

オイラー線の証明

大昔にダイアリーに書いてプライベートになったものを改めて見返したら
面白いことが書いてあったのでここに再掲しておきます


△PQRの重心、外心、垂心をそれぞれG,V,Hとする。
PQ,QR,RPの中点をそれぞれS,T,Uとする。

△PQRは△UTRをR中心に2倍に拡大したものなので、
HRの中点Aは△UTRの垂心と一致し、
TUの中点をMとすると、
△STUの垂心でもある点Vと点Aの中点はMとなる。

また、SG:GR=1:2であり、GM:MR=1:3である。

以上より、メネラウスの定理の逆、およびメネラウスの定理より
3点UGHは同一直線上にありVG:GH=1:2

特殊な場合もありそうですがまぁ大体こうなりそうです

ところで他の証明は
オイラー線の3通りの証明 | 高校数学の美しい物語
これが詳しいのですが、自分の証明のほうがより初等幾何っぽさが強くないですかね?

・・・と思ったけどよく考えると結局本質は VS:RH = 1:2なのでほとんど変わらないですね。

改めて読み返すと STUの垂心がVになることがわかりませんでしたが、外心の性質を思い出すとPV=QVだからVSとPQは直交するから言えるんですね。

さらに調べると次の動画の方がわかりやすいなぁと思いました。
www.youtube.com

こういう動画が大昔にもあれば僕がこんな記事書かなくてもよかったのに。