なにかのもんだい

（略解ですが省きまくってる（というか雑）ので頑張って補完するかリプ飛ばしてください）

方針としては、一点を(x,y)に固定して、そのとき、もう一点をどこに置くかを考えます。
もう一点おける候補の場所の面積は1で、条件を満たす置き方の領域ををf(x,y)とします。
結局f(x,y)が平均どのくらいとれてるかをみればよいので、x,yで重積分してやれば良いという事になります。
ただ、f(x,y)をひとつの式で表すのが難しいので多少の工夫を加えます。
1つ目の工夫は最初に一点固定する領域を限定すること
2つ目は縦方向に交わるような点集合と横方向に交わる点集合を別々に計算してやること、です

1つ目の工夫ではタテ・ヨコ・ナナメに線を引いて正方形を8つの部分にわけると楽だと思います。

残りは立式をしてwolfram alpha先生に計算させた結果です

(途中で途切れてるけどコピペしてぶちこんでください)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral_0^%281%2F2%29+%28+Integral_0^x++++%28y%2F%281-x%29*x+%2By%2Fx*%281-x%29%29%2F2++dy+++%29+dx

www.wolframalpha.com/input/?i=Integral_0^(1%2F2)+(+Integral_(1-x)^1++++(y-1%2B1%2F(2y))++dy+++)+dx

以上の２つを足して8をかければ2/3になってこれが答え。

数値計算しても0.6666...くらいが出てきます

この問題作ったときは充分大丈夫そうな問題だと思っていたけど、
今見ると無限の元から1つの元を取り出す操作が大変怪しく感じますがどうなんでしょう。
まぁロープ切断問題も無限個から複数の点とってるしいいのかなぁ